Questão 136 do ENEM 2021

Como resolver a questão 136 passo a passo?

O conceito que resolve

A proporção áurea, representada por ρ, é uma constante matemática onde o quadrado de ρ é igual a ρ mais um (ρ² = ρ + 1). Essa relação é usada para definir potências superiores de ρ em termos de coeficientes inteiros.

Como chegar na resposta

1. Analisar a relação de recorrência: ρ² = ρ + 1 implica que potências de ρ podem ser expressas como combinações lineares de ρ e 1.
2. Observar o padrão de crescimento: Para potências ímpares, o coeficiente de ρ tende a ser maior que o termo constante, e para potências pares, o coeficiente de ρ é menor que o termo constante.
3. Calcular iterativamente: Começando com ρ¹ = 1ρ + 0, aplicar a relação de recorrência para encontrar ρ², ρ³, ..., até ρ⁷.
4. Identificar o resultado: A potência ρ⁷ corresponde à combinação 13ρ + 8, conforme observado no padrão de crescimento dos coeficientes.

Por que cada alternativa

• A5ρ + 3: Esta opção é incorreta porque o coeficiente de ρ é muito baixo para uma potência de ordem 7. A relação de recorrência mostra que o coeficiente de ρ cresce rapidamente, tornando 5 insuficiente.
• B7ρ + 2: Esta opção também tem um coeficiente de ρ muito baixo. Para ρ⁷, o coeficiente de ρ deve ser significativamente maior que 7, baseado no crescimento exponencial da sequência.
• C9ρ + 6: Embora o coeficiente de ρ seja maior, ele ainda não é o correto. A análise da recorrência indica que o coeficiente de ρ para ρ⁷ é 13, não 9.
• D11ρ + 7: Esta opção está próxima, mas o coeficiente de ρ é 2 unidades menor que o necessário. O termo constante também está incorreto, pois deve ser 8.
• E13ρ + 8: Esta é a alternativa correta. O coeficiente de ρ é 13, que é consistente com o padrão de crescimento para a sétima potência, e o termo constante é 8, completando a expressão correta.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha está nas opções de resposta. Muitas alternativas têm coeficientes de ρ que são plausíveis, mas não correspondem ao crescimento exponencial esperado para a sétima potência. A opção correta (E) é a única que segue o padrão de crescimento observado na sequência de potências de ρ.

O que estudar se você errou

Para revisar, é importante entender a relação de recorrência ρ² = ρ + 1 e como ela se aplica a potências superiores. A prática de calcular as primeiras potências (ρ¹, ρ², ρ³, etc.) ajuda a visualizar o padrão de crescimento dos coeficientes, tornando mais fácil identificar a resposta correta para potências maiores.