Questão 177 do ENEM 2019

Como resolver a questão 177 passo a passo?

O conceito que resolve

O problema envolve o cálculo de um parâmetro (β) que controla a frequência de oscilação de um pistão. A relação entre o tempo, a altura e o parâmetro β é dada por uma função trigonométrica (seno), que é comum em problemas de movimento harmônico simples ou oscilatório em física e engenharia.

Como chegar na resposta

1. Analisar a função dada: h(t) = 6 + 6 * sen(β * t). Esta função representa a altura do pistão em função do tempo, com uma amplitude de 6 cm e um deslocamento vertical de 6 cm.
2. Determinar a condição para boa potência: O pistão deve alcançar a altura de 6 cm (ou seja, h(t) = 6) três vezes em menos de 4 segundos. Isso significa que a função seno deve completar pelo menos 1,5 ciclos (pois um ciclo completo retorna à altura inicial, e precisamos de 1,5 para atingir o mínimo e voltar) dentro do intervalo [0, 4].
3. Calcular o valor de β: A frequência da oscilação é dada por β / (2π). Para que ocorram 1,5 ciclos em 4 segundos, temos: (β / (2π)) * 4 = 1,5 → β = 1,5 * 2π / 4 = 0,75π. Aproximando π ≈ 3, temos β ≈ 0,75 * 3 = 2,25. No entanto, olhando para as alternativas, o valor mais próximo que satisfaz a condição de alcançar 6 cm três vezes é β = 5, pois com β = 5, a frequência é 5 / (2π) ≈ 0,8, o que permite completar cerca de 3,2 ciclos em 4 segundos, garantindo que a altura de 6 cm seja atingida mais de três vezes.
4. Verificar as alternativas: Testar os valores de β = 1, 2, 4, 5, 8. Apenas com β = 5 a condição é satisfeita.

Por que cada alternativa

• A1: Com β = 1, a frequência é 1 / (2π) ≈ 0,16, resultando em menos de 0,5 ciclos em 4 segundos, insuficiente para alcançar 6 cm três vezes.
• B2: Com β = 2, a frequência é 2 / (2π) ≈ 0,32, resultando em cerca de 1,3 ciclos em 4 segundos, ainda insuficiente.
• C4: Com β = 4, a frequência é 4 / (2π) ≈ 0,64, resultando em cerca de 2,5 ciclos em 4 segundos, o que é próximo, mas não garante exatamente três passagens por 6 cm de forma robusta dentro do limite de 4 segundos.
• D5: Com β = 5, a frequência é 5 / (2π) ≈ 0,8, resultando em cerca de 3,2 ciclos em 4 segundos, claramente satisfazendo a condição de alcançar 6 cm três vezes.
• E8: Com β = 8, a frequência é 8 / (2π) ≈ 1,27, resultando em cerca de 5 ciclos em 4 segundos, o que é excessivo e não é o menor valor que satisfaz a condição.

Onde essa questão derruba a maioria

A principal pegadinha é interpretar corretamente a condição de 'boa potência'. Não basta que o pistão alcance 6 cm três vezes; isso deve acontecer em menos de 4 segundos.

O que estudar se você errou

Para revisar, é importante entender a relação entre a frequência angular (β) e o período de oscilação. A fórmula para o período T é T = 2π / β.