ENEM 2019 · Matemática · funções
Questão 163 do ENEM 2019
Resposta: letra C. A questão apresenta cinco países com diferentes valores de IDH, expressos como potências de um número X. O objetivo é identificar qual país possui o maior IDH, sabendo que nenhum deles atingiu o valor máximo de 1.0. A análise dos valores mostra que o terceiro país, com IDH = X^(1/3), possui o maior índice entre os listados, pois X^(1/3) é maior que X^(1/2) e X, mas menor que 1.0.
O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento.
Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros.
O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo , o terceiro , o quarto X² e o último X³. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.
Qual desses países obteve o maior IDH?
- AO primeiro.
- BO segundo.
- CO terceiro.Resposta correta
- DO quarto.
- EO quinto.
Como resolver a questão 163 passo a passo?
O conceito que resolve
A questão envolve a comparação de números reais elevados a diferentes potências fracionárias. O conceito chave é entender que, para um número base X entre 0 e 1, a função f(x) = x^n é decrescente conforme n aumenta. Portanto, entre X^(1/3), X^(1/2), e X, o valor de X^(1/3) é o maior, desde que X < 1.
Como chegar na resposta
- Identificar os valores de IDH para cada país: primeiro (X), segundo (X^(1/2)), terceiro (X^(1/3)), quarto (X^2), quinto (X^3).
- Observar que, como X está entre 0 e 1 (já que nenhum país atingiu o máximo de 1.0), a função x^n é decrescente com o aumento de n.
- Comparar os expoentes: 1/3 > 1/2 > 1 > 2 > 3. Logo, X^(1/3) > X^(1/2) > X > X^2 > X^3.
- Concluir que o terceiro país, com IDH = X^(1/3), possui o maior valor entre os cinco.
Por que cada alternativa
- AO primeiro país tem IDH = X, que é menor que X^(1/3).
- BO segundo país tem IDH = X^(1/2), que é menor que X^(1/3).
- CO terceiro país tem IDH = X^(1/3), que é o maior valor entre os cinco países listados.
- DO quarto país tem IDH = X^2, que é menor que X^(1/3).
- EO quinto país tem IDH = X^3, que é o menor valor entre os cinco países listados.
Onde essa questão derruba a maioria
A pegadinha está na interpretação dos expoentes fracionários. Muitos alunos podem confundir a ordem de grandeza de X^(1/3) e X^(1/2), ou assumir que o primeiro país (X) é o maior porque não tem fração, quando na verdade o expoente 1/3 resulta em um valor maior para X < 1.
O que estudar se você errou
Para revisar, é importante praticar a comparação de números reais com diferentes potências, especialmente quando a base está entre 0 e 1. Lembre-se de que, para bases menores que 1, a função x^n é decrescente, então um expoente menor (como 1/3) resulta em um valor maior do que um expoente maior (como 1/2 ou 1).
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