ENEM 2018 · Matemática · funções
Questão 170 do ENEM 2018
Resposta: letra A. A altura da cadeira varia senoidalmente com o ângulo t, tendo amplitude igual ao raio da roda e deslocamento vertical igual à altura do centro acima do solo. Partindo da posição onde OA está horizontal, a altura inicial é a do centro, o que corresponde a um seno sem deslocamento de fase.
Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a _High Roller_, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:
A partir da posição indicada, em que o segmento _OA_ se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a _High Roller_ no sentido anti-horário, em torno do ponto _O_. Sejam _t_ o ângulo determinado pelo segmento _OA_ em relação à sua posição inicial, e _f_ a função que descreve a altura do ponto _A_, em relação ao solo, em função de _t_. Após duas voltas completas, _f_ tem o seguinte gráfico:
A expressão da função altura é dada por
- AF(t) = 80sen(t) + 88Resposta correta
- BF(t) = 80cos(t) + 8 8
- CF(t) = 88cos(t) + 168
- DF(t) = 168sen(t) + 88cos(t)
- EF(t) = 88sen(t) + 168cos(t)
Como resolver a questão 170 passo a passo?
O conceito que resolve
Função senoidal que modela movimento circular vertical: f(t) = R·sen(t) + h₀, onde R é o raio e h₀ a altura do centro.
Como chegar na resposta
- Identificar que OA é raio R e que seu componente vertical é R·sen(t) quando o ângulo t é medido a partir da horizontal.
- A altura do ponto A é a altura do centro O mais esse componente: f(t) = h₀ + R·sen(t).
- No gráfico fornecido (duas voltas completas) observa‑se que a altura mínima é 8 m e a máxima 168 m, logo a amplitude é (168‑8)/2 = 80 m e o deslocamento vertical é (168+8)/2 = 88 m.
- Substituindo R = 80 e h₀ = 88 obtém‑se f(t) = 80·sen(t) + 88.
- Verificar que para t = 0 (posição inicial) f(0) = 88, ou seja, altura do centro, conforme esperado.
Por que cada alternativa
- ACorreta: representa exatamente a forma f(t) = h₀ + R·sen(t) com R = 80 m e h₀ = 88 m, atendendo à condição inicial de altura igual ao centro.
- BErro: usa cosseno em vez de seno; isso pressupõe que, em t = 0, a cadeira já está no ponto mais alto, contrariando a informação de que OA começa paralelo ao solo.
- CErro: inverte amplitude e deslocamento (88·cos + 168), resultando em altura inicial muito acima do centro e amplitude inadequada para o raio da roda.
- DErro: combina seno e cosseno com coeficientes 168 e 88, produzindo uma função cujo valor em t = 0 não é 88 e cuja amplitude não corresponde ao raio de 80 m.
- EErro: semelhante à D, troca os coeficientes de seno e cosseno; também não satisfaz a condição inicial nem a amplitude observada no gráfico.
Onde essa questão derruba a maioria
A pegadinha está em confundir seno e cosseno ao definir a fase inicial; como a posição de partida tem OA horizontal, a altura inicial é a do centro, o que corresponde a seno sem deslocamento de fase, não a cosseno.
O que estudar se você errou
Verificar se, para t = 0, a função retorna a altura do centro (88 m) e se a diferença entre altura máxima e mínima é duas vezes o raio (160 m).
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