ENEM 2013 · Matemática · geometria
Questão 175 do ENEM 2013
Resposta: letra E. Uma torre de TV deve ficar equidistante de três antenas A(30, 20), B(70, 20) e C(60, 50); pede-se as coordenadas.
Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
y (km) x (km) A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
- A(65 ; 35).
- B(53 ; 30).
- C(45 ; 35).
- D(50 ; 20).
- E(50 ; 30).Resposta correta
Como resolver a questão 175 passo a passo?
O conceito que resolve
O ponto equidistante de três pontos não alinhados é o circuncentro do triângulo, onde se cruzam as mediatrizes. Em coordenadas, impõe-se igualdade de distâncias.
Como chegar na resposta
- A e B têm a mesma ordenada, então a mediatriz de AB é a reta x = 50.
- Distâncias ao ponto (50, y): à antena A, d² = 20² + (y − 20)²; à antena C, d² = 10² + (y − 50)².
- Igualando: 400 + (y − 20)² = 100 + (y − 50)², que dá 800 − 40y = 2 600 − 100y e y = 30. A torre fica em (50; 30).
Por que cada alternativa
- A(65; 35) não está em x = 50, então não é equidistante de A e B.
- B(53; 30) tem x diferente de 50: está mais perto de B que de A.
- C(45; 35) tem x diferente de 50, mais perto de A que de B.
- D(50; 20) está sobre a mediatriz de AB, mas dista 20 de A e √(100 + 900) ≈ 31,6 de C.
- ECorreta: (50; 30) dista √(400 + 100) = √500 de A, de B e de C.
Onde essa questão derruba a maioria
Estar na mediatriz de AB (x = 50) não basta: o ponto também precisa equidistar de C.
O que estudar se você errou
Revise geometria analítica: distância entre pontos, mediatriz e circuncentro.
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