ENEM 2012 · Matemática · geometria
Questão 180 do ENEM 2012
Resposta: letra C. A questão trata da contração de uma travessa de argila durante o cozimento, onde as dimensões lineares diminuem em 20%. O objetivo é calcular a porcentagem de redução no volume da travessa, que é cúbica.
A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.
_Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado)._
Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é
- A20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado.
- B36% menor que V, porque a área da base diminui de a2 para ((1 − 0,2)a)².
- C48,8% menor que V, porque o volume diminui de a3 para (0,8a)³.Resposta correta
- D51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.
- E60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.
Como resolver a questão 180 passo a passo?
O conceito que resolve
O volume de um cubo é calculado pela fórmula V = a³, onde 'a' é o comprimento da aresta. Quando a aresta diminui, o volume diminui de forma cúbica, ou seja, pelo cubo do fator de redução. Se a aresta diminui para 80% do valor original, o volume diminui para (0,8)³ do valor original.
Como chegar na resposta
- Identificar que a travessa é cúbica, então o volume inicial é V = a³.
- Determinar o novo comprimento da aresta após a contração: a' = 0,8a.
- Calcular o novo volume: V' = (0,8a)³ = 0,512a³.
- Expressar a redução do volume como uma porcentagem: (V - V') / V = (a³ - 0,512a³) / a³ = 0,488, ou 48,8%.
Por que cada alternativa
- AErrado. A redução é linear, mas o volume é cúbico. Uma redução de 20% na aresta resulta em uma redução de aproximadamente 48,8% no volume, não 20%.
- BErrado. Este valor parece ser um erro de cálculo ou uma confusão com a área da base. A redução correta é de 48,8%.
- CCorreto. O volume diminui de a³ para (0,8a)³, o que corresponde a uma redução de 48,8% (0,488).
- DErrado. O novo volume é 0,512 do original, então a redução é 1 - 0,512 = 0,488, ou 48,8%, não 51,2%.
- EErrado. Uma redução de 20% na aresta não leva a uma redução de 60% no volume. O cálculo correto é (0,8)³ ≈ 0,512, resultando em uma redução de ~48,8%.
Onde essa questão derruba a maioria
A principal pegadinha é confundir a redução linear (20%) com a redução volumétrica. Muitas pessoas podem pensar que se o lado diminui 20%, o volume também diminui 20%, mas o volume é uma função cúbica do lado, então a redução é muito maior (48,8%).
O que estudar se você errou
É importante revisar a diferença entre reduções lineares e volumétricas. Em geometria, quando uma dimensão linear muda por um fator 'f', o volume muda por um fator de 'f³'. Além disso, é crucial fazer os cálculos de porcentagem corretamente: a redução é (V_inicial - V_final) / V_inicial, não o valor final em si.
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