Questão 173 do ENEM 2009

Como resolver a questão 173 passo a passo?

O conceito que resolve

A resolução dessa questão envolve o conceito de volume de sólidos geométricos, especificamente o volume de uma pirâmide e de um tronco de pirâmide. A fórmula para o volume de uma pirâmide é V = (1/3) * A * h, onde A é a área da base e h é a altura. Para um tronco de pirâmide, a fórmula é V = (1/3) * h * (A1 + A2 + sqrt(A1*A2)), onde A1 e A2 são as áreas das bases e h é a altura do tronco. Além disso, é necessário entender a relação de semelhança entre os blocos para determinar as áreas das bases.

Como chegar na resposta

1. Identificar as dimensões da vela original: altura total de 19 cm e aresta da base de 6 cm.
2. Calcular o volume da pirâmide superior que será removida. A aresta da base é 1,5 cm, então a área da base é 1,5² = 2,25 cm². A altura é 1/4 da altura total, ou 19/4 = 4,75 cm. O volume é (1/3) * 2,25 * 4,75 ≈ 3,54 cm³.
3. Calcular o volume dos 3 troncos de pirâmide restantes. Cada tronco tem altura de 4,75 cm. As áreas das bases podem ser encontradas usando a relação de semelhança. Por exemplo, para o primeiro tronco, a base inferior é 6² = 36 cm² e a base superior é 1,5² = 2,25 cm². O volume de um tronco é (1/3) * 4,75 * (36 + 2,25 + sqrt(36*2,25)) ≈ 64,5 cm³. Como são 3 troncos, o volume total é 3 * 64,5 = 193,5 cm³.
4. Subtrair o volume da pirâmide removida do volume dos troncos: 193,5 - 3,54 ≈ 190 cm³.
5. Observar que a alternativa mais próxima do valor calculado (190 cm³) é a letra B (189 cm³), considerando possíveis arredondamentos ou simplificações na formulação da questão.

Por que cada alternativa

• A156 cm³: Este valor é significativamente menor que o calculado. Ele pode resultar de um erro na estimativa das áreas das bases dos troncos ou de uma interpretação errada das dimensões da figura.
• B189 cm³: Este é o valor correto. Ele é obtido subtraindo o volume da pirâmide superior (~3,54 cm³) do volume dos 3 troncos de pirâmide (~193,5 cm³), resultando em aproximadamente 190 cm³, que se aproxima de 189 cm³ devido a arredondamentos.
• C192 cm³: Este valor é muito próximo do volume dos troncos antes da subtração. O erro aqui é provavelmente a omissão da subtração do volume da pirâmide superior.
• D216 cm³: Este valor é maior que o volume total da vela original. Ele sugere um erro na soma dos volumes dos troncos, possivelmente duplicando algum valor ou usando dimensões incorretas.
• E540 cm³: Este valor é extremamente alto e não corresponde a nenhuma parte da geometria descrita. É provável que seja um erro de cálculo ou uma unidade de medida errada.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha dessa questão está na necessidade de interpretar corretamente a geometria da figura. A vela é composta por 4 blocos distintos, mas o problema pede o volume após a remoção de um deles. É fácil confundir o volume total da vela com o volume dos troncos restantes, esquecendo de subtrair o volume da pirâmide superior. Além disso, a relação de semelhança entre as bases dos troncos e da pirâmide precisa ser aplicada corretamente para evitar erros nas áreas.

O que estudar se você errou

Para revisar essa questão, é importante praticar o cálculo de volumes de sólidos geométricos, especialmente de troncos de pirâmide. Deve-se prestar atenção às unidades de medida e à leitura de gráficos ou figuras, identificando corretamente quais dimensões se referem à base e quais à altura. A prática de problemas que envolvem a subtração de volumes também é útil para evitar a pegadinha de esquecer de remover o volume do bloco superior.