Questão 171 do ENEM 2009

Como resolver a questão 171 passo a passo?

O conceito que resolve

A probabilidade de acertar a quina depende do número de combinações possíveis de 5 dezenas dentro do conjunto escolhido. Em 84 apostas de 6 dezenas, há muitas mais combinações possíveis do que em uma única aposta de 9 dezenas, mesmo que esta última tenha mais números. A relação entre as probabilidades é dada pela razão das combinações de 5 elementos em cada conjunto.

Como chegar na resposta

1. Para 84 apostas de 6 dezenas, a probabilidade de acertar a quina é baseada no número total de combinações de 5 dezenas que podem ser formadas a partir de 6. Como há 84 apostas, o número total de combinações é 84 * C(6, 5) = 84 * 6 = 504.
2. Para uma aposta de 9 dezenas, a probabilidade de acertar a quina é baseada no número de combinações de 5 dezenas que podem ser formadas a partir de 9, que é C(9, 5) = 126.
3. A razão entre as probabilidades é 504 / 126 = 4. Portanto, a probabilidade no segundo caso é 4 vezes menor que no primeiro.

Por que cada alternativa

• A1 1/2 vez menor: Esta alternativa está incorreta porque a razão calculada é 4, não 1.5. A probabilidade de acertar a quina com 9 dezenas é significativamente menor do que com 84 apostas de 6 dezenas.
• B2 1/2 vezes menor: Esta alternativa está incorreta porque a razão calculada é 4, não 2.5. A diferença entre as probabilidades é maior do que o sugerido por esta opção.
• C4 vezes menor: Esta alternativa está correta. A razão entre o número de combinações possíveis em ambos os casos é exatamente 4, indicando que a probabilidade de acertar a quina é 4 vezes menor na aposta de 9 dezenas.
• D9 vezes menor: Esta alternativa está incorreta porque a razão calculada é 4, não 9. A probabilidade não é reduzida a um nono, mas a um quarto.
• E14 vezes menor: Esta alternativa está incorreta porque a razão calculada é 4, não 14. A probabilidade de acertar a quina é reduzida por um fator de 4, não de 14.

Onde essa questão derruba a maioria

A pegadinha comum neste tipo de problema é assumir que, porque a aposta de 9 dezenas tem mais números, ela deve ter uma probabilidade maior ou igual. Na verdade, o número de combinações de 5 dezenas que podem ser formadas a partir de 9 é muito menor do que o número de combinações possíveis em 84 apostas de 6 dezenas. A chave é entender que a probabilidade depende do número de subconjuntos de 5 elementos, não apenas do tamanho do conjunto total.

O que estudar se você errou

Para revisar, é importante calcular as combinações de 5 elementos para ambos os casos. Para 84 apostas de 6 dezenas, o número total de combinações é 84 * C(6, 5). Para uma aposta de 9 dezenas, é C(9, 5). A razão entre esses dois valores dá a diferença de probabilidade. Também é útil lembrar que, em loterias, apostar em mais números geralmente aumenta a chance de acertar alguns, mas não necessariamente a chance de acertar o prêmio máximo, e pode ser menos eficiente em termos de custo/benefício.