ENEM 2022 · Matemática · geometria
Questão 176 do ENEM 2022
Resposta: letra D. A cidade A fica em (20; 40) e a B em (50; 20); o ponto de conexão está sobre a Rodovia 003 (eixo x), e a soma das distâncias A–P e P–B deve ser a menor possível; as opções I a V estão nas abscissas 20, 30, 35, 40 e 50.
O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 x (km) y (km) Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível.
Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?
- AI
- BII
- CIII
- DIVResposta correta
- EV
Como resolver a questão 176 passo a passo?
O conceito que resolve
O caminho mais curto entre dois pontos passando por uma reta é obtido refletindo um dos pontos em relação à reta: o ponto de conexão fica na intersecção do segmento com a reta.
Como chegar na resposta
- Reflexo de B(50; 20) em relação ao eixo x: B'(50; −20).
- Reta de A(20; 40) a B'(50; −20): inclinação −60/30 = −2; passa pelo eixo x quando y = 0: 40 − 2(x − 20) = 0, x = 40.
- O ponto de conexão está em x = 40 km, que corresponde à localização IV.
Por que cada alternativa
- AI (x = 20) leva A direto para baixo, mas o trecho até B fica longo demais.
- BII (x = 30) fica mais perto de A, mas deixa o trecho até B maior que o mínimo.
- CIII (x = 35) é intermediário, mas não é o que minimiza a soma.
- DCorreta: IV (x = 40) é o ponto em que a trajetória refletida cruza o eixo, minimizando a distância total.
- EV (x = 50) leva B direto para baixo, mas o trecho de A fica longo demais.
Onde essa questão derruba a maioria
O ponto mais perto de A (I) ou de B (V) não minimiza a soma; é preciso refletir um dos pontos para achar o cruzamento ideal.
O que estudar se você errou
Revise geometria analítica, reflexão em relação a uma reta e problemas de caminho mínimo.
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